Fractais: A Chave do Universo

Lembra dos posts abordando temas complicadíssimos que apareciam por aqui? Pois é, eles voltaram! O tema da vez: Fractais. Talvez um dos temas mais complicados que passaram por aqui pois exige muito da imaginação e interpretação dos nossos leitores. Poucas pessoas conhecem essa proeza da natureza, embora o assunto seja do ponto de vista científico, interessantíssimo. Lembra também quando falamos aqui no blog à respeito da possibilidade do Universo ser uma simulação? Os mistérios por trás dos fractais podem trazer à tona uma evidência sobre a realidade que nos rodeia. Na verdade, eles podem revelar o “tudo”, em outras palavras, eles podem ser o primeiro passo da Teoria Unificada que a Física tanto almeja, como também pode ser a resposta para questões que nos atormentam, por exemplo, “o que é o universo, afinal?”.

Infelizmente esse tema é um pouquinho complexo e eu não tenho como discorrer sobre os subtemas que serão abordado nele, logo, vai exigir do leitor um conhecimento prévio, essencialmente na área de Matemática e Geometria.

Vale muito a pena conferir:

Indice:

  1. Introdução aos Fractais
  2. O Caos e a Ordem – Introdução mitológica
  3. Texturas Fractais
  4. Padrões Geométricos de Penrose
  5. Fractais na vida real
  6. A Matemática do Delírio – Fractais e o Grupo Fractarte na revista “Super Interessante” (matéria da capa)
  7. Qual o tamanho de um fractal?
  8. Aplicação dos Fractais
  9. Mandalas e Fractais

1. Introdução aos Fractais

“Nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos,
o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta.”

(Benoît Mandelbrot, em seu livro “ The Fractal Geometry of Nature ” – 1983)

Imagem gerada utilizando fractais através
da infinita repetição de padrões similares.
Cada pequena parte é similar ao todo.

A ciência dos fractais apresenta estruturas geométricas de grande complexidade e beleza infinita, ligadas às formas da natureza, ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo. São imagens de objetos abstratos que possuem o caráter de onipresença por terem as características do todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte, escapando assim, da compreensão em sua totalidade pela mente humana.

Essa geometria, nada convencional, tem raízes remontando ao século XIX e algumas indicações neste sentido vêm de muito antes na Grécia Homérica, Índia, China, entre outros. Porém, somente há poucos anos vem se consolidando com o desenvolvimento dos computadores e o auxílio de novas teorias nas áreas da física, biologia, astronomia e matemática. O termo “fractal” foi criado em 1975 pelo pesquisador Benoît Mandelbrot, o “pai dos fractais”.

Diferentes definições de Fractais surgiram com o aprimoramento de sua teoria. A noção que serve de fio condutor foi introduzida por Benoît Mandelbrot através do neologismo “Fractal”, que surgiu do adjetivo latino fractus, que significa “irregular” ou “quebrado”.

Uma primeira definição matemática, pelo próprio Mandelbrot, diz: – “Um conjunto é dito Fractal se a dimensão Hausdorff-Besicovitch deste conjunto for maior do que sua dimensão topológica”. No decorrer do tempo ficou claro que esta definição era muito restritiva embora tenha motivações pertinentes.

Uma definição mais simples é esta: “Fractais são objetos gerados pela repetição de um mesmo processo recursivo, apresentando auto-semelhança e complexidade infinita.”

Os fractais podem apresentar uma infinidade de formas diferentes, não existindo uma aparência consensual. Contudo, existem duas características muito freqüentes nesta geometria:

Complexidade Infinita: É uma propriedade dos fractais que significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores.

Auto-similaridade: Um fractal costuma apresentar cópias aproximadas de si mesmo em seu interior. Um pequeno pedaço é similar ao todo. Visto em diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar.

 A imagem ao lado (“A Curva de Koch”) é um exemplo geométrico da construção de um fractal. Um mesmo procedimento é aplicado diversas vezes sobre um objeto simples, gerando uma imagem complexa. Cada pedaço da linha foi dividido em 4 pedaços menores idênticos ao pedaço original, cada um sendo 3 vezes menor que o tamanho original. Assim, usando um novo conceito de dimensão, os matemáticos calcularam a dimensão fractal deste objeto como sendo:

D = log(n.cópias)/log(escala) = log(4)/log(3) = 1,26185.

Uma nova geometria e um novo conceito de dimensão precisaram
ser criados para explicar a geometria das formas intrincadas.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A Geometria Fractal pode ser utilizada para descrever diversos fenômenos na natureza, onde não podem ser utilizadas as geometrias tradicionais. Nuvens, montanhas, turbulências, árvores, crescimento de populações, vasos sangüíneos e outras formas irregulares podem ser estudadas e descritas utilizando as propriedades dos fractais.

2. CAOS E ORDEM – A dualidade que rege o universo desde o seu primórdio

O estudo dos fractais está ligado à teoria do caos, que busca padrões organizados de comportamento dentro de um sistema aparentemente aleatório. Na mitologia grega, Caos era o estado não-organizado, ou o Nada, de onde todas as coisas surgiam. Mas não era apenas o mero vácuo e sim o estado de escuridão e nebulosidade infinita. A cosmogonia de Orphic afirma que Chronos (personificação do tempo) deu origem a Ether e a Caos sendo que este formou um enorme ovo de onde nasceu o Paraíso, a Terra e Eros. De acordo com a Teogonia de Hesiold, o Caos precedeu a origem não só do mundo mas também dos deuses…

 Hoje em dia – com o desenvolvimento da matemática e ciência – a Teoria do Caos surgiu para compreender as flutuações erráticas e irregulares da natureza, resíduos da formação primordial vinda do grande ovo de Caos. Sistemas de comportamento caótico são encontrados em muitos campos da ciência e engenharia e são estudados, pois muitas vezes são achados padrões que mostram uma estrutura ordenada no sistema.

Uma característica de um sistema caótico é que ele sempre mostra “sensibilidade às condições iniciais”, isto é, qualquer perturbação no estado inicial do sistema, não importando quão pequena seja, levará rapidamente a uma grande diferença no estado final, fazendo com que a previsão do futuro torne-se muito difícil. Porém, compreendendo o comportamento caótico, muitas vezes é possível entender como o sistema se comportará como um todo ao longo do tempo.

 Apesar das inúmeras aplicações e utilidades, os fractais ainda têm um longo caminho pela frente. Faltam muitas ferramentas e vários problemas continuam sem solução. Uma teoria completa e unificada é necessária e a pesquisa prossegue neste sentido.

“O Caos não tem estátua nem figura e não pode ser imaginado; é um espaço que só pode ser conhecido pelas coisas que nele existem, e ele contém o universo infinito.”
(Frances A. Yates)

3. Texturas Fractais

 A imagem acima é um fractal gerado pela Textura de Perlin, que representa a complexidade de diversos tipos de texturas encontradas normalmente na natureza (ex: em pedras, madeira, fogo, fumaça, água, núvens, pele, etc.). São equações matemáticas que geram um tipo especial de “ruído semi-aleatório” que é convertido na forma imagens. Muitos filmes utilizam texturas deste tipo, geradas com computaçào gráfica.

 O Pente de Cantor 

pente de Cantor é o conjunto resultante da remoção sucessiva do terço central de um segmento de reta. Este conjunto tem algumas propriedades curiosas:

* Tem comprimento zero, pois a cada passo o comprimento do conjunto é 2/3 do comprimento do passo anterior. Por exemplo se o comprimento inicial for 1, ao fim do primeiro passo é 2/3, ao fim do segundo passo é 2/3 × 2/3, ao fim do terceiro passo é 2/3 × 2/3 × 2/3, pelo que o comprimento, no limite de um número infinito de passos, é 2/3 × 2/3 × 2/3 × … = 0.

* É infinito, pois os extremos dos segmentos de reta nunca são removidos e em cada passo o número de extremos é multiplicado por 2.

* É auto-semelhante, i.e. cada parte é uma cópia de si própria, como pode ser visto na seguinte animação:

Animação do pente de Cantor.

A curva do floco de neve

A curva do floco de neve (outro exemplo de conjunto estranho) é construída a partir de um triângulo equilátero aplicando sucessivamente as seguintes regras:

  1. divide-se cada lado em três segmentos de recta de igual comprimento,
  2. desenha-se um triângulo equilátero tendo como base o segmento do meio,
  3. remove-se o segmento da base do triângulo construído no ponto 2.

A curva do floco de neve é constituída por três curvas de Koch, cada uma das quais corresponde a um dos lados do triângulo equilátero de partida. Esta curva tem algumas propriedades notáveis:

* Tem comprimento infinito, pois a cada passo o comprimento da curva é 4/3 do comprimento do passo anterior. Por exemplo se o comprimento inicial for 1, ao fim do primeiro passo é 4/3, ao fim do segundo passo é 4/3 × 4/3, ao fim do terceiro passo é 4/3 × 4/3 × 4/3, pelo que, no limite de um número infinito de passos, o comprimento é 4/3 × 4/3 × 4/3 × … = ∞.
* Apesar da curva ter comprimento infinito delimita uma área finita, que obviamente é inferior à área do triângulo seguinte:

Triângulo delimitando três curvas de Koch.

* o qual contém três curvas de Koch, uma grande (vermelho) e duas mais pequenas (azul). Usando este facto podemos calcular a área delimitada pela curva de Koch de uma forma bastante simples:

  1. Se L for o comprimento da base do triângulo, a sua altura é a altura de um triângulo equilátero de lado L/3 ou seja, pelo teorema de Pitágoras, L√3/6, e portanto a sua área éL²√3/12.
  2. O comprimento dos lados esquerdo e direito do triângulo é, usando outra vez o teorema de Pitágoras, L√3/3.
  3. Se A1 e A2 designam as áreas delimitadas pelas curvas de Koch grande e pequena, então A2 / A1 = ((L√3/3) / L)² = 1/3.
  4. Como A1 + 2A2 = L²√3/12, logo A1 = L²√3/20.

* É auto-semelhante, i.e. cada parte é uma cópia de si própria, como pode ser visto na seguinte animação:

Animação que mostra a auto-semelhança da curva de Koch.

O triângulo de Sierpinski

triângulo de Sierpinski é o conjunto resultante da remoção sucessiva do triângulo equilátero do centro, quando se divide um triângulo equilátero em quatrotriângulos iguais.

Este conjunto tem algumas propriedades bastante curiosas:

* Tem área zero, pois a cada passo a área reduz-se para 3/4 da área do passo anterior. Por exemplo se a área inicial for 1, ao fim do primeiro passo é 3/4, ao fim do segundo é 3/4 × 3/4, ao fim do terceiro é 3/4 × 3/4 × 3/4, pelo que a área limite é 3/4 × 3/4 × 3/4 × … = 0.

* É infinito, pois em particular o conjunto de pontos que não são retirados da base do triângulo inicial é infinito. De facto, em cada passo retira-se à base do triângulo todos os pontos cuja distância ao vértice esquerdo é um múltiplo de L×(1/2)n, onde L é o comprimento dos lados, e n=1,2,… para as sucessivas iterações. Todos pontos cuja distância ao vértice esquerdo é o produto de L por um número irracional nunca são removidos, porque os números irracionais não são o quociente de dois inteiros, pelo que ficam no conjunto um número infinito de pontos da base.

* É auto-semelhante, i.e. cada parte é uma cópia de si própria, como pode ser visto na seguinte animação:

Animação que mostra a auto-semelhança do triângulo de Sierpinski.

O tapete de Sierpinski

tapete de Sierpinski é o conjunto resultante da remoção sucessiva do quadrado do centro, quando se divide um quadrado em nove quadrados iguais.

Este conjunto tem algumas propriedades bastante interessantes:

* Tem área zero, pois a cada passo a área reduz-se para 8/9 da área do passo anterior. Por exemplo se a área inicial for 1, ao fim do primeiro passo é 8/9, ao fim do segundo é 8/9 × 8/9, ao fim do terceiro é 8/9 × 8/9 × 8/9, pelo que a área limite é 8/9 × 8/9 × 8/9 × … = 0.

* É infinito, pois os lados do quadrado nunca são removidos.

* É auto-semelhante, i.e. cada parte é uma cópia de si própria, como pode ser visto na seguinte animação:

Animação que mostra a auto-semelhaça do tapete de Sierpinski.

4. Padrões Geométricos de Penrose

“A partir de agora, o espaço em si e o tempo em si estão destinados a desaparecer como simples sombras e só a união dos dois preservará uma realidade independente.”  (Hermann Minkowski, 1908)

Os padrões de Penrose permitem um preenchimento do espaço de forma simétrica mas não periódica. As imagens que constituem as figuras possuem ângulos múltiplos de 36 graus (36, 72, 108, 144).


5. Fractais na vida Real

A realidade é que tudo que você vê pode ser construido por um ou uma combinação de fractais. Todavia, vamos nos ater à exemplos simples de visualizar.

O reino vegetal é uma das fontes mais ricas de estruturas fractais. Vejamos algumas delas:

Brócolos.

Brócolos

Couve flor.

Couve flor

Uma qualidade especial de brócolos chamada romanesco.

Mandelbrócolos… ahem! Uma qualidade especial de brócolos chamada romanesco

Embondeiro.

Baobabe: árvore da África tropical, de tronco enorme, também conhecida por embondeiro.

As estruturas fractais aparecem igualmente nas formações geológicas e outros fenómenos naturais:

Fotografia aérea de uma porção da costa da Noruega.

Fotografia aérea de uma porção da costa da Noruega.

Fotografia aérea do sistema fluvial da Noruega.

Fotografia aérea do sistema fluvial da Noruega.

Relâmpago.

Relâmpago.

Até mesmo no reino animal as estruturas fractais estão presentes:

Sistema arterial do coração.

Sistema arterial do coração

Pulmões, sistema respiratório.

Pulmões, sistema respiratório.

Cymbiola imperialis.

Cymbiola imperialis –a concha dos moluscos desta espécie apresenta padrões que se assemelham aos triângulos de Sierpinski.
6. A Matemática do Delírio – Artigo da SuperInteressante

O artista digita uma equação. A partir daí, o computador faz literalmente milhões de cálculos e vai desenhando os fractais, imagens cuja riqueza de detalhes só perde para a própria realidade.

Segundo o velho Euclides, matemático grego que viveu dois milênios atrás, existem figuras que não têm dimensão, ou melhor, têm dimensão ZERO. É o caso dos pontos, como este ponto final (.). Uma linha, por sua vez – considerada a distância entre dois pontos quaisquer -, é algo com uma única dimensão. Já a capa de SUPERINTERESSANTE, de acordo com a geometria euclidiana, tem duas dimensões. Pois, para conhecer qual a sua área, é necessário multiplicar dois números – o do comprimento pelo da largura. Do mesmo modo, um bloco possui três dimensões, porque precisamos multiplicar três números (comprimento, largura e altura) para saber qual o seu volume. Euclides estava certo. Mas não resolveu todo o problema.

 Os contornos das montanhas, a superfície dos pulmões humanos, a trajetória das gotículas de água quando penetram na terra – existe uma infinidade de fenômenos na natureza que não podem ser descritos por essa geometria toda certinha. É preciso apelar para complicados cálculos que resultam nas chamadas dimensões fracionárias – como a dimensão 0,5, por exemplo, típica de um objeto que é mais do que um simples ponto com dimensão zero, porém menos do que uma linha com dimensão 1.Só a chamada geometria dos fractais consegue descrevê-lo.

Essa nova área das ciências matemáticas vem tendo uma enorme aplicação. Para os biólogos, ajuda a compreender o crescimento das plantas. Para os físicos, possibilita o estudo de superfícies intrin-cadas. Para os médicos, dá uma nova visão da anatomia interna do corpo. Enfim, não faltam exemplos. Um dos mais belos – e, sem dúvida, o mais colorido – é o uso dos fractais na arte. Quando os computadores são alimentos com equações, eles criam magníficos desenhos abstratos. É o que você poderá ver nas ilustrações do inglês Greg Sams e no trabalho do Grupo Fractarte, formado por três pesquisadores paulistanos.

 Planetas com florestas estranhas, mares cor de laranja e montanhas com milhares de picos pontiagudos – são alguns dos mundos imaginados pelo artista gráfico Greg Sams, que trabalha em Londres, na Inglaterra. Na verdade, ele faz uma espécie de colagem com o auxílio do computador, como se recortasse pedaços redondos de fractais para criar um planeta ou uma estrela de contorno regular.

“O que mais me fascina é procurar novos padrões de um mesmo fractal para construir as minhas imagens”, diz o artista. Isso porque quanto mais você se aproxima de um fractal, mais detalhes você consegue enxergar nele. Parece não ter fim – é uma visão do infinito. Desse modo, Sams vai ampliando determinada área dezenas ou centenas de vezes – e sempre observa desenhos diferentes.

 Diferentes, porém parecidos. Pois não basta ter dimensão fracionária para ser um fractal. É preciso que o objeto seja auto-semelhante: suas partes devem se parecer muito entre si e representar o todo. Ou seja, um fractal pode ser comparado a uma couve-flor – se alguém cortar um pedaço dela, verá que ele tem a cara da verdura inteira. A terceira e última característica de um fractal é ser fruto de um processo iterativo. No jargão dos matemáticos, isso significa repetir uma fórmula inúmeras vezes. É dessa repetição que surge a imagem.

A arte com fractais pode ser um caminho para os matemáticos explicarem as suas idéias. Isso é o que almejam três pesquisadores da Universidade de São Paulo. Rodrigo de Almeira Siqueira, 23 anos, cursa Engenharia Elétrica e faz pesquisas na área de multimídia. Alexandre Dupont, 25 anos, é estudante de Engenharia e de Matemática. A terceira figura é Humberto Rossetti Baptista, 23 anos, formado em Ciência da Computação, que vive no maior corre-corre por causa de uma inacabada tese de mestrado. Cujo assunto, claro, é teoria dos fractais – o elo entre os três integrantes do grupo Fractarte.

 “Os fractais viraram uma espécie de moda”, observa Dupont. “Muita gente está fazendo coisas com fractais. No entanto, quase ninguém explica o que são.” Daí surgiu a idéia da exposição “Janelas para o Infinito”, que já esteve em São Paulo e agora percorre o interior do Estado. Neste mês, poderá ser vista em Pirassununga (até o dia 21) e em Ribeirão Preto. Novembro será a vez de Bauru (a partir do dia 17). Finalmente, em dezembro o grupo mostrará a sua arte (e ciência) aos cariocas.

 Dizem que uma imagem pode substituir mil palavras. No caso, um único fractal pode ocupar o espaço de 100 000 palavras na memória do computador. E o objetivo dos pesquisadores é de que ele sirva por outras 100 000 palavras para mostrar ao público leigo aquilo que passa na cabeça de um matemático. “Muitas vezes, os matemáticos perdem anos tentando encontrar ou decifrar uma fórmula sem finalidade prática alguma – ao menos imediata” diz Rossetti Baptista. “Fazem isso porque a matemática é lúdica, com suas idéias abstratas. E é um pouco desse lado lúdico que as pessoas podem experimentar ao ver uma obra cuja base é uma equação.”

 Na opinião do professor José Teixeira Coelho Neto, da Escola de Comunicação da USP, a linguagem dos fractais tem tudo a ver com o presente. “Há muito tempo existem uma discussão na Arquitetura entre modernos e pós-modernos”, exemplifica. Segundo ele, os modernos encaram os ângulos retos, a geometria clean como algo mais evoluído, enquanto os pós-modernos brigam contra esse conceito. “Assim, a geometria dos fractais vem como um reforço para o pós-modernismo.”

7.  Qual o tamanho de um fractal?

Todo mundo sabe a diferença entre um segmento de reta e um quadrado:

Segmento de recta.Quadrado.

Um segmento de reta tem comprimento, enquanto um quadrado tem área. No entanto a situação já é menos clara quando consideramos conjuntos estranhos, nomeadamente aqueles que são construídos pela aplicação sucessiva de uma certa regra:

Curva de Koch.
Tapete de Sierpinski. Triângulo de Sierpinski.

A dimensão de homotetia

Quadrado dividido em quatro quadrados iguais.

Se tomarmos um quadrado e o ampliarmos à escala 2×, obtemos 4 quadrados do mesmo tamanho.

Quadrado dividido em nove quadrados iguais.

Enquanto que se o ampliarmos à escala 3×, obtemos 9quadrados.Se o ampliarmos à escala k×, obtemos N = k² quadrados do mesmo tamanho.

Em particular temos: logk N = 2.

Para um segmento de reta… logk N = 1Um segumento de recta.O mesmo segmento de recta.

Triângulo equilátero.   Triângulo equilátero com aresta dupla da do triângulo anterior.          … para um triângulo    logk N = 2,

… e para um cubo    logk N = 3 … Cubos com arestas de comprimento 1, 2, 3 e 4.

Em geral, se ao ampliarmos à escala k um conjunto C obtemos um conjunto formado por N cópias do conjunto original, dizemos que a dimensão de homotetia é:

ds(C) = logk N.

Exemplo 1: A curva de Koch

Ao ampliar a curva de Koch pelo factor de escala de 3

Ampliação da curva de Koch.
obtemos 4 cópias da curva original, pelo que a sua dimensão de homotetia é:

ds(C) = logk N = log3 4 ≈ 1,261…

Exemplo 2: O pente de Cantor

Ao ampliar o pente de Cantor pelo factor de escala de 3

Ampliação do pente de Cantor.
obtemos 2 cópias do original, pelo que a sua dimensão de homotetia é:

ds(C) = logk N = log3 2 ≈ 0,630…

Exemplo 3: Os conjuntos de Sierpinski

O mesmo tipo de raciocínio permite mostrar que:

Ampliação do tapete de Sierpinski.ds(C) = logk N = log3 8 ≈ 1,892…

Ampliação do triângulo de Sierpinski.ds(C) = logk N = log2 3 ≈ 1,584…

A dimensão de Hausdorff-Besicovitch

Obviamente só podemos calcular a dimensão de homotetia quando o conjunto é um fractal geométrico, i.e. quando o conjunto é auto-semelhante em todas as escalas. No entanto os fractais naturais são apenas estatisticamente auto-semelhantes… A dimensão de Hausdorff-Besicovitch permite cortar este nó górdio; vejamos informalmente como se calcula:

Se pegarmos numa recta e a recobrirmos com caixas de tamanho cada vez mais pequeno,

Recobrimento de um segmento de recta com caixas cada vez mais pequenas.
o número de caixas necessárias para cobrir a recta e o seu respectivo tamanho estão relacionados pela equação:
(1)

N(r) = (1/r)d, com d = 1.

Por outro lado se pegarmos num quadrado e o recobrirmos com caixas de tamanho cada vez mais pequeno,

Recobrimento de um quadrado com caixas cada vez mais pequenas.
o número de caixas necessárias para cobrir o quadrado e o seu respectivo tamanho estão relacionados pela equação:
(2)

N(r) = (1/r)d, com d = 2.

Todo mundo sabe que os triângulos têm dimensão 2. Vejamos o que acontece aplicando o método da contagem de caixas ao seguinte triângulo:

Recobrimento de um triângulo com caixas cada vez mais pequenas.
Neste caso obtemos a seguinte equação:
(3)

N(1/n) = n(n+1)/2 ~ n²/2, n → ∞

As equações (1), (2) e (3) indicam que a dimensão é o expoente da lei de potência assimptótica, dado pelo limite:

\lim_{r \to 0}\frac{\log N(r)}{\log r}

Vejamos se as dimensões de homotetia que calculámos para o pente de Cantor, a curva de Koch e para os conjuntos de Sierpinski coincidem com a dimensão de Hausdorff-Besicovitch.

Exemplo 1: a curva de Koch

 

Recobrimento da curva de Koch com caixas cada vez mais pequenas. .
N(1/3) = 3
N(1/9) = N((1/3)2) = 12 = 3×4
N(1/27) = N((1/3)3) = 48 = 3×42
e em geral
N((1/3)n) = 3×4n-1

 

d = \lim_{n \to \infty}\frac{\log(3 \times 4^{n-1})}{\log 3^n} = \log_3{4}

Exemplo 2: o pente de Cantor

 

Recobrimento do pente de Cantor com caixas cada vez mais pequenas.
N(1/3) = 2
N(1/9) = N((1/3)2) = 4 = 22
N(1/27) = N((1/3)3) = 8 = 23
e em geral
N((1/3)n) = 2n.

 

d = \lim_{n \to \infty}\frac{\log 2^n}{\log 3^n} = \log_3{2}

Exemplo 3: os conjuntos de Sierpinski

 

Recobrimento do triângulo de Sierpinski com caixas cada vez mais pequenas.
N(1) = 1
N(1/2) = 3
N(1/4) = N((1/2)2) = 9 = 32
N(1/8) = N((1/2)3) = 27 = 33
e em geral
N((1/2)n) = 3n.

 

d = \lim_{n \to \infty}\frac{\log 3^n}{\log 2^n} = \log_2{3}
 

Recobrimento do tapete de Sierpinski com caixas cada vez mais pequenas.
N(1) = 1
N(1/3) = 8
N(1/9) = N((1/3)2) = 64 = 82
N(1/27) = N((1/3)3) = 256 = 83
e em geral
N((1/3)n) = 8n.

 

d = \lim_{n \to \infty}\frac{\log 8^n}{\log 3^n} = \log_3{8}

Os exemplos anteriores mostram que os dois conceitos coincidem no caso dos fractais geométricos, basta cobrir cada uma das N cópias obtidas pela ampliação associada ao factor de escala k com uma caixa, tal como fizemos nos exemplos 2 e 3 e como poderíamos ter feito no exemplo 1.

8. Aplicação dos Fractais

A natureza está repleta de fractais, ao contrário do mundo tecnológico que permanece essencialmente euclidiano. A tecnologia foi desenvolvida sem explorar a estrutura em várias escalas, apesar das forças cegas da Física e de milhões de anos de evolução atestarem a importância dos fractais. Recentemente algumas indústrias ou ramos do conhecimento começaram a explorar as formas fractais. Eis alguns exemplos.

Medicina

A dimensão fractal é usada na medicina como método de diagnóstico quantitativo e objectivo de várias patologias. Um dos campos mais desenvolvidos é o diagnóstico do cancro. As evidências experimentais sugerem que os tumores cancerosos têm dimensão fractal superior à dos tecidos normais. Um exemplo nesta linha de investigação é o da Detecção de núcleos atípicos por Sedivy et al. em 1999:

Imagens digitalizadas do epitélio cervical.

Imagens digitalizadas do epitélio cervical (canto superior esquerdo) com corte transversal do núcleo (canto inferior esquerdo). À direita encontram-se as respectivas imagens binárias.

 

Tecido Dimensão fractal
núcleos de controle 0.97
núcleos atípicos 1.47

 

Crê-se que o conhecimento das estruturas fractais dos vários tecidos do corpo humano, assim como da estrutura fractal do sistemas circulatório, nervoso e linfático, permita colmatar o hiato que separa as experiências in vitro dos resultados in vivo.

Antenas fractais

O desenho de antenas é um problema complicado. Os desenhos comuns são sensíveis apenas a uma gama estreita de frequências e não são eficientes se o seu tamanho for inferior a um quarto do comprimento de onda. Este é um problema para a construção de antenas pequenas, tais como as que são usadas nos telefones portáteis.

A resposta das antenas fractais difere acentuadamente da das tradicionais pois são capazes de funcionar de forma óptima simultâneamente em várias frequências. As antenas convencionais são “talhadas” para a frequência em que vão operar -pelo que funcionam de forma óptima apenas para essa frequência. Esta característica faz das antenas fractais uma excelente alternativa para aplicações de banda larga.

Antena fractal com a forma de um tapete de Sierpinski.Antena fractal em forma de curva de Koch..

A Motorola começou a usar antenas fractais em vários modelos dos seus telemóveis e anunciou que estas são 25% mais eficientes que o tradicional pedaço de fio condutor.

Fibras ópticas fractais

O empacotamento apropriado de fibras ópticas produz guias de ondas com muito baixa distorção. Lee Cook da Galileo Electro-Optics Corp. mostrou, através do uso de pavimentações recursivas, que os melhores empacotamentos de fibras ópticas são aqueles que têm bordas fractais. Isso levou ao desenho de feixes de fibras ópticas fractais, chamados multi-multifibras, os quais exibem um melhor contraste de imagem. Omotivo da pavimentação – a forma dos “azulejos” – é construído, recursivamente, da seguinte forma:

Empacotamento recursivo de fibras ópticas.

Esta tecnologia inovadora foi adquirida pela Incom em 1994.

Misturadores fractais

Usando a natureza como fonte de inspiração, neste caso os pulmões, Marc-Olivier Coppens da Universidade Técnica de Delft desenvolveu um sistema para a mistura de dois fluidos que diminui a turbulência indesejada e normalmente associada ao transporte, mistura e distribuição:

Misturador fractal bidimensional.Misturador fractal bidimensional.

Nos exemplos das figuras anteriores:

  1. o fluido injectado abandona todas as saídas ao mesmo tempo, pois todas elas estão à mesma distância da entrada,
  2. a razão área/volume da interface entre os fluidos aumenta significativamente em comparação com as geometrias tradicionais.

A figura seguinte mostra um misturador fractal para um tanque tridimensional:

Misturador fractal tridimensional.

Os mercados financeiros

A Multifractal Walk down Wall Street. Capa da Scientific American de fevereiro de 1999.

Os mercados financeiros são um dos grandes campos de aplicação da geometria fractal , para além de terem sido um dos primeiros locais onde os fractais foram vistos à solta. Tudo começou com a descoberta, por Mandelbrot, que a distribuição das flutuações do preço do algodão obedecia a uma lei de potência (uma das impressões digitais dos fractais) o que desacreditava os dois dogmas da economia ortodoxa: as variações dos preços são estatisticamente independentes e obedecem a uma distribuição normal…

Usando as cotações do DJIA (Dow Jones Industrial Average, também conhecido por Dow) para o período entre 1 de Janeiro de 1990 e 31 de Dezembro de 2001, Huang obteve o valor de 1.484 para a dimensão fractal do Dow.

Cotações de fecho do DJIA.

Os fractais permitem quantificar a estrutura em todas as escalas associada a muitos sistemas complexos.

9. Mandalas e Fractais

Passando do campo da Ciência para os campos das suposições, falaremos um pouco sobre os mistérios das Mandalas. Mandalas – palavra “círculo” no sanscrito – é uma manifestação visual que expõe por meio da arte à representação geométrica da dinâmica relação entre o homem e o cosmo. A lenda diz que as primeiras mandalas que apareceram na Asia –  no Tibet , India e outras localidades –  eram obras dos “deuses” que foram dadas aos homens e que guardavam os segredos do universo. Isso torna tudo muito interessante se analisarmos pelo ponto de vista que esses “deuses” hindus não eram “deuses” e sim, extraterrestres.

As mandalas nada mais são do que desenhos fractais. Talvez fosse essa à linguagem utilizada por esses supostos seres que aportaram aqui:  uma linguagem matemática através dos fractais. É muito provavel que uma especie evoluída opte por uma linguagem matemática para se comunicar ao invés de uma linguagem simbolica. Erroneamente, nossos antepassados consideraram tais desenhos como ilustrações espírituais, levando para o lado religioso, o que distorceu aquilo que poderia ser um presente para Humanidade evoluir mais rapidamente.

Se observamos as denominações dadas as mandalas primodiais, como por exemplo, “tempo”, “espaço”, “energia”, “vida”, poderíamos supor que tais eram representações dos segredos dessas questões. Infelizmente hoje não temos acesso à esses “presentes” somente nas reproduções que eram passadas de geração e geração e que provavelmente foram completamente alteradas pelos seus autores.

E você, caro leitor que conseguiu chegar até o final do artigo, o que você acha disso?


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